Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆C 与y 轴交于A，B 两点，且|AB|=2．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线x=4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x 轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，2b=2，即b=1，
，得 ，
解得a2=4，
椭圆C的标准方程为 ；
（Ⅱ）方法一、设P（x0 ， y0）（0＜x0≤2），A（0，1），B（0，﹣1），
所以 ，直线PA的方程为 ，
同理：直线PB的方程为 ，
直线PA与直线x=4的交点为 ，
直线PB与直线x=4的交点为 ，
线段MN的中点 ，
所以圆的方程为 ，
令y=0，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
设交点坐标（x1 ， 0），（x2 ， 0），可得x1=4+ ，x2=4﹣ ，
因为这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解，
所以 ，解得 ．
则 （ ）
所以当x0=2时，该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．
方法二：设P（x0 ， y0）（0＜x0≤2），A（0，1），B（0，﹣1），
所以 ，直线PA的方程为 ，
同理：直线PB的方程为 ，
直线PA与直线x=4的交点为 ，
直线PB与直线x=4的交点为 ，
若以MN为直径的圆与x轴相交，
则 ，
即 ，
即 ．
因为 ，所以 ，
代入得到 ，解得 ．
该圆的直径为 ，
圆心到x轴的距离为 ，
该圆在x轴上截得的弦长为 ；
所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．
方法三：设P（x0 ， y0）（0＜x0≤2），A（0，1），B（0，﹣1），
所以 ，直线PA的方程为 ，
同理：直线PB的方程为 ，
直线PA与直线x=4的交点为 ，
直线PB与直线x=4的交点为 ，
所以 ，
圆心到x轴的距离为 ，
若该圆与x轴相交，则 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
该圆在x轴上截得的弦长为 ；
所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2
【解析】（Ⅰ）由题意可得，2b=2，再由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解得a=2，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）方法一、设P（x0 ， y0）（0＜x0≤2），A（0，1），B（0，﹣1），求出直线PA，PB的方程，与直线x=4的交点M，N，可得MN的中点，圆的方程，令y=0，求得与x轴的交点坐标，运用弦长公式，结合 ．即可得到所求最大值；
方法二、设P（x0 ， y0）（0＜x0≤2），A（0，1），B（0，﹣1），求出直线PA，PB的方程，与直线x=4的交点M，N，以MN为直径的圆与x轴相交，可得yMyN＜0，求得 ，再由弦长公式，可得最大值；
方法三、设P（x0 ， y0）（0＜x0≤2），A（0，1），B（0，﹣1），求出直线PA，PB的方程，与直线x=4的交点M，N，可得MN的长度，由直线和圆相交，可得 ，再由弦长公式，可得最大值．