题目内容
己知点F为抛物线C：y2=x的焦点，斜率为1的直线l交抛物线于不同两点P，Q．以F为圆心，以FP，FQ为半径作圆，分别交x轴负半轴于M，N，直线PM，QN交于点T．（I）判断直线PM与抛物线C的位置关系，并说明理由；
（II）连接FT，FQ，FP，记S1=S△PFT，S2=S△QFT，S3=S△PQT设直线l在y轴上的截距为m，当m何值时，
取得最小值，并求出取到最小值时直线l的方程．
【答案】分析：（I）设出P，Q的坐标，求出直线PM的方程，代入抛物线方程，利用判别式可得结论；
（II）将直线PQ：y=x+m代入y2=x可得y2-y+m=0，计算点F到直线PT的距离，点Q到直线PT的距离，从而可得
=
，同理
没劲儿可得
，令t=
，则
，利用导数法，即可求出
的最小值，从而可得取到最小值时直线l的方程．
解答：解：（I）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意及抛物线的定义知：M（-x1，0），N（-x2，0），
∴
∴直线PM：y-y1=
，即
代入y2=x可得
∵
∴直线PM与抛物线C相切；
（II）直线PQ：y=x+m代入y2=x可得y2-y+m=0
∴y1+y2=1，y1y2=m
点F到直线PT的距离
；点Q到直线PT的距离
∴
=
，同理
又直线PM与QN的交点T
，∴
∴
∴
令t=
，∴
∵
∴f（t）在
上单调递减，在
上单调递增
∴
，此时
，即直线l的方程为
综上可知，
的最小值为
，取到最小值时直线l的方程为
．
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形的面积，考查导数法求函数的最值，解题的关键是构建函数关系式，属于中档题．
（II）将直线PQ：y=x+m代入y2=x可得y2-y+m=0，计算点F到直线PT的距离，点Q到直线PT的距离，从而可得
=，同理没劲儿可得，令t=，则，利用导数法，即可求出的最小值，从而可得取到最小值时直线l的方程．解答：解：（I）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意及抛物线的定义知：M（-x1，0），N（-x2，0），
∴
∴直线PM：y-y1=
，即代入y2=x可得
∵
∴直线PM与抛物线C相切；
（II）直线PQ：y=x+m代入y2=x可得y2-y+m=0
∴y1+y2=1，y1y2=m
点F到直线PT的距离
；点Q到直线PT的距离∴
=，同理又直线PM与QN的交点T
，∴∴
∴
令t=
，∴∵
∴f（t）在
上单调递减，在上单调递增∴
，此时，即直线l的方程为综上可知，
的最小值为，取到最小值时直线l的方程为．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形的面积，考查导数法求函数的最值，解题的关键是构建函数关系式，属于中档题．
练习册系列答案
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己知点F为抛物线C：y2=x的焦点，斜率为1的直线l交抛物线于不同两点P，Q．以F为圆心，以FP，FQ为半径作圆，分别交x轴负半轴于M，N，直线PM，QN交于点T．
相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，定点B（2，0）．
，求点M轨迹C的方程：
（斜率不为零）与（1）中的轨迹C交于不同的两点E，F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．
取得最小值，并求出取到最小值时直线l的方程．