题目内容

己知点F为抛物线C：y2=x的焦点，斜率为1的直线l交抛物线于不同两点P，Q．以F为圆心，以FP，FQ为半径作圆，分别交x轴负半轴于M，N，直线PM，QN交于点T．
（I）判断直线PM与抛物线C的位置关系，并说明理由；
（II）连接FT，FQ，FP，记S1=S△PFT，S2=S△QFT，S3=S△PQT设直线l在y轴上的截距为m，当m何值时，
S1S2S3
取得最小值，并求出取到最小值时直线l的方程．
分析：（I）设出P，Q的坐标，求出直线PM的方程，代入抛物线方程，利用判别式可得结论；
（II）将直线PQ：y=x+m代入y2=x可得y2-y+m=0，计算点F到直线PT的距离，点Q到直线PT的距离，从而可得
S1
S3
=
d1
d2
=
1+4y12
4(y1-y2)2
=
1+4y12
4(1-4m)
，同理
S2
S3
= 
1+4y22
4(1-4m)
没劲儿可得
S1S2
S3
=
16m2-8m+5
64
1-4m
，令t=
1-4m
＞0，则
S1S2
S3
=
1
64
(t3+
4
t
)=f(t)，利用导数法，即可求出
S1S2
S3
的最小值，从而可得取到最小值时直线l的方程．
解答：解：（I）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意及抛物线的定义知：M（-x1，0），N（-x2，0），
∴KMP=
y1
2x1
=
1
2y1

∴直线PM：y-y1=
1
2y1
(x-x1)，即x-2y1y+y12=0
代入y2=x可得y2-2y1y+y12=0
∵△=4y12-4y12=0
∴直线PM与抛物线C相切；
（II）直线PQ：y=x+m代入y2=x可得y2-y+m=0
∴y1+y2=1，y1y2=m
点F到直线PT的距离d1=
|
1
4
+y12|
1+4y12
；点Q到直线PT的距离d2=
|x2-2y1y2+y12|
1+4y12
= 
(y1-y2)2
1+4y12

∴
S1
S3
=
d1
d2
=
1+4y12
4(y1-y2)2
=
1+4y12
4(1-4m)
，同理
S2
S3
= 
1+4y22
4(1-4m)

又直线PM与QN的交点T(y1y2，
y1+y2
2
)，∴T(m，
1
2
)
∴S3=
1
2
|PQ|d=
|y1-y2||1-4m|
4

∴
S1S2
S3
=
16m2-8m+5
64
1-4m

令t=
1-4m
＞0，∴
S1S2
S3
=
1
64
(t3+
4
t
)=f(t)
∵f′(t)=
1
64
(3t2-
4
t2
)=
3t4-4
64t2

∴f（t）在(0，
4
4
3
)上单调递减，在(
4
4
3
，+∞)上单调递增
∴
S1S2
S3
≥ 
1
12
4
3
4
，此时m=
1
4
-
3
6
，即直线l的方程为y=x+
1
4
-
3
6

综上可知，
S1S2
S3
的最小值为
1
12
4
3
4
，取到最小值时直线l的方程为y=x+
1
4
-
3
6
．
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形的面积，考查导数法求函数的最值，解题的关键是构建函数关系式，属于中档题．
练习册系列答案
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（2013•温州二模）抛物线y2=2px（p＞0）的准线交x轴于点C，焦点为F．A、B是抛物线上的两点．己知A．B，C三点共线，且|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，直线AB的斜率为k，则有（　　）

如图，己知直线l与抛物线相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，定点B（2，0）．

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（2）若过点B的直线（斜率不为零）与（1）中的轨迹C交于不同的两点E，F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．

 
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