Question

（本小题满分12分）如图，边长为2的正方形ABCD中，E是边的中点，F是BC边上的一点，对角线AC分别交DE、DF于M、N两点，将及折起，使A、C重合于点，构成如图所示的几何体．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若∥平面，求三棱锥的体积．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）；

【解析】

试题分析：（1）想要证明线线垂直，就得先证明线面垂直，由于E，F两点都是中点，故想到取中点，构造两组线线垂直，由线面垂直的判定定理知，平面DGH，由线面垂直的性质知，；（2）求解三棱锥的体积问题，我们通常采用等体积法，将已知的三棱锥转变成一个我们容易求解的三棱锥来求解，由于本题中,所以，平面GEF，显然，三棱锥的高解决了，故有== ；

试题解析：（Ⅰ）证明：取EF的中点为H,连接DH,GH，在中，GE=GF，H是中点，故,在中，DE=DF，H是中点，故,,所以，平面DGH，即。 6分

（Ⅱ）∥平面知，F是BC边上的中点，故有，，在直角三角形GEF中，GE=GF=1，故EF=，又因为,所以，平面GEF，故此时三棱锥的高为DG，值是2，

== 12分[来源:

考点：?线面垂直的性质与判定?棱锥的体积公式