Question

已知等比数列{a_n}，其前n项和为S_n，且a₁+a₃=5，a₂+a₄=10．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若b_n=1+log₄a_n，求数列{

1

bnbn+1

}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）先根据等比数列通项公式和条件求得公比q，进而可求得a_n；
（2）把a_n代入b_n=1+log₄a_n求得b_n，进而根据裂项法求得数列{

1

bnbn+1

}的前n项和．

解答：解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
由题意得，

a1+a1q2=5 a1q+a1q3=10

，解得a₁=1，q=2，
∴an=2n-1，
（2）由（1）得，b_n=1+log₄a_n=1+

log

2n-1 4

=

n+1

2

，
∴

1

bnbn+1

=

4

(n+1)(n+2)

=4(

1

n+1

-

1

n+2

)，
设数列{

1

bnbn+1

}的前n项和为T_n，
∴T_n=4[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)]
=4（

1

2

-

1

n+2

）=

2n

n+2

．

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式，以及裂项相消法求数列和，考查了学生对数列知识的综合把握．