Question

【题目】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PC⊥BC，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD.求证：

（1）求证：PA∥平面BDE；

（2）求证：平面PAC⊥平面BDE.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；

【解析】

（1）设ACBD＝O，连结OE，从而可得AP//OE，再利用线面平行的判定定理即可证出.

（2）利用面面垂直的性质定理可得PC平面ABCD，即证出PCBD，再由ACBD，根据线面垂直的判定定理可得BD平面PAC，最后利用面面垂直的判定定理即可证出.

证明：（1）设ACBD＝O，连结OE，

因为底面ABCD是菱形，故O为BD中点，

又因为点E是PC的中点，

所以AP//OE，又因为OE平面BDE，AP平面BDE，

所以AP//平面BDE.

（2）因为平面PBC平面ABCD，PCBC，

平面PBC平面ABCD＝BC，PC平面PBC，

所以PC平面ABCD

又BD平面ABCD，所以PCBD，∵ABCD是菱形，∴ACBD，

又PCBD，ACPC＝C，AC平面PAC，PC平面PAC，

所以BD平面PAC

又BD平面BDE，所以平面PAC平面BDE.