Question

【题目】已知为平面上一点，为直线：上任意一点，过点作直线的垂线，设线段的中垂线与直线交于点，记点的轨迹为.

（1）求轨迹的方程；

（2）过点作互相垂直的直线与，其中直线与轨迹交于点、，直线与轨迹交于点、，设点，分别是和的中点，求的面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用轨迹与方程的思想，构造等量关系，求轨迹方程；

（2）用直线斜截式方程设直线方程与曲线方程联立，利用韦达定理求出点，坐标，可将的面积表示为关于直线斜率的函数，利用函数性质求的面积的最小值.

（1）设点则，设的中点为，则，

且为的中垂线，

当时，

即，

∴

当时，，则

综上所述点的轨迹的方程为；

（2）设直线的斜率为，

且，则直线的斜率为，

∵直线与轨迹交于点、，直线与轨迹交于点、，

∴，

∴直线的方程为，直线的方程为，

设，联立直线与曲线方程

∴

∴，

即，，

且点是的中点，

∴

同理

设点到直线：的距离为，

∴，

，

∴，

∴的面积的最小值为.