Question

过抛物线y²=2px（p＞0）焦点F的直线与抛物线交于P、Q，由P、Q分别引其准线的垂线PH₁、QH₂垂足分别为H₁、H₂，H₁H₂的中点为M，记|PF|=a，|QF|=b，则|MF|=

ab

．

Answer 1

分析：分PQ⊥x轴与PQ与x轴不垂直两种情况加以讨论，利用抛物线的定义、直角三角形斜边上的中线性质、矩形的性质和勾股定理进行推理与证明，并结合题中的数据加以计算，可得出MF的长等于

ab

．

解答：解：①PQ与x轴不垂直时，如图所示，
由抛物线的定义，可得|PF|=|PH₁|，|QF|=|QH₂|．
∴∠PFH₁=∠PH₁F，∠QFH₂=∠QH₂F，
设准线交x轴于点G，
∵QH₂∥FG∥PH₁，∴∠H₂FG=∠QH₂F，∠H₁FG=∠PH₁F．
因此∠H₂FG=∠QFH₂，且∠H₁FG=∠PFH₁，
可得∠H₂FG+∠H₁FG=

1

2

×180°=90°．
∴Rt△H₁H₂F中，中线|MF|=

1

2

|H₁H₂|．
过点P作PN⊥QS，垂足为N，则|PN|=|H₁H₂|．
在Rt△PQN中，|PQ|=|PH₁|+|QH₂|=a+b，|QN|=||PH₁|-|QH₂||=|a-b|，
∴|PN|=

|PQ|2-|QN|2

=

(a+b)2+(a-b)2

=2

ab

．可得|MF|=

1

2

|H₁H₂|=

ab

．
②当PQ⊥x轴时，可得p=a=b，此时|MF|=p=

ab

也成立．
综上所述，可得MF的长等于

ab

故答案为：

ab

点评：本题给出抛物线的焦点弦PQ，求P、Q在准线上的射影对应线段的中点到焦点F的距离．着重考查了抛物线的定义与标准方程、直角三角形的性质和平行线的性质、勾股定理等知识，属于中档题．