题目内容

正三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC= $数学公式$ ，AB=BC=CA= $数学公式$ ，则其外接球的表面积为________．

$\text{[math]}$
分析：先确定底面三角形外接圆的半径，进而求得正三棱锥的高，再利用勾股定理，求得外接球的半径，即可求得外接球的表面积．
解答：设P在平面ABC中的射影为D，则
∵AB=BC=CA= $\text{[math]}$ ，∴AD= $\text{[math]}$ =1
∵PA= $\text{[math]}$ ，∴PD= $\text{[math]}$ =2
设外接球的半径为R，则R²=1+（2-R）²∴R= $\text{[math]}$
∴外接球的表面积为4πR²= $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题考查正三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确运用正三棱锥的性质是关键．

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