Question

【题目】设函数，曲线过点，且在点处的切线斜率为2.

（1）求，的值；

（2）证明：；

（3）若在定义域内恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）

【解析】

（1）由，知，由过，且在点处的切线斜率为2，知，由此能求出，．

（2）的定义域为，由（1）知，设，则，由此能证明．

（3）依题意可得恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，即可得到函数的最小值，从而得到参数的取值范围；

解：（1），

，

过，且在点处的切线斜率为2，

，

解得，．

（2）的定义域为，

由（1）知，

设，

则，

当时，；当时，．

在单调递增，在单调递减．

．

，

．

（3）依题意，在定义域内恒成立，即恒成立，

令，定义域为，

所以

则当时，即在上单调递增，

当时，即在上单调递减，

则时取得极小值即最小值，

所以