Question

设f（x）=x•（2^x-2^-xt），（x∈R）为偶函数，则实数t的值为________．

Answer 1

1
分析：法一f（x）=x•（2^x-2^-xt）为偶函数可得f（-x）=f（x）对任意的x都成立，代入可求t
法二：由f（x）=x•（2^x-2^-xt）为偶函数可得f（-x）=f（x）对任意的x都成立，则f（-1）=f（1）成立，代入可求t
法三：由f（x）=x•（2^x-2^-xt）为偶函数可得g（x）=2^x-t•2^-x为奇函数，则g（-x）=-g（x）对任意的x都成立，代入可求t
法四：由f（x）=x•（2^x-2^-xt）为偶函数可得g（x）=2^x-t•2^-x，为奇函数，由奇函数的性质可得g（0）=0，代入可求t
解答：法一∵f（x）=x•（2^x-2^-xt），（x∈R）为偶函数
∴f（-x）=f（x）对任意的x都成立
∴-x（2^-x-t•2^x）=x（2^x-t•2^-x）
整理可得，（1-t）（2^x-2^-x）=0
∴1-t=0
∴t=1
故答案为1
法二：∵f（x）=x•（2^x-2^-xt），（x∈R）为偶函数
∴f（-x）=f（x）对任意的x都成立
∴f（-1）=f（1）
-（2^-1-2t）=2-
即
∴t=1
故答案为1
法三：∵f（x）=x•（2^x-2^-xt），（x∈R）为偶函数
设h（x）=x，g（x）=2^x-t•2^-x，由h（x）为奇函数可得g（x）为奇函数
∴g（-x）=-g（x）对任意的x都成立
∴2^-x-t•2^x=-2^x+t•2^-x对任意的x都成立
∴（1-t）（2^x-2^-x）=0
∴t=1
故答案为1
法四：∵f（x）=x•（2^x-2^-xt），（x∈R）为偶函数
设h（x）=x，g（x）=2^x-t•2^-x，由h（x）为奇函数可得g（x）为奇函数
由奇函数的性质可得g（0）=0
∴2⁰-2⁰t=0
∴t=1
故答案为1
点评：本题主要考察了函数的奇偶性的定义及函数奇偶性的性质的应用，解答本题中要注意奇函数中f（0）=0及两个奇函数相乘的结果为偶函数等结论的应用．