Question

（文）已知数列{a_n}，S_n是其前n项和，S_n=1-a_n（n∈N^*），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令数列{b_n}的前n项和为T_n，b_n=（n+1）a_n，求T_n；
（3）设cn=

3an	(2-an)(1-an)

，求数列{c_n}的前n项和R_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得当n=1时，a₁=

1

2

；当n≥2时，

an

an-1

=

1

2

，从而可判断数列a_n是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，继而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）T_n=b₁+b₂+…+b_n=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+（n+1）×(

1

2

)n，利用错位相减法即可求得求T_n；
（3）利用裂项法得c_n=

3an

(2-an)(1-an)

=

3×( 1 2 )n

[2-( 1 2 )n][1-( 1 2 )n]

=3（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

），从而可求数列{c_n}的前n项和R_n．

解答：解：（1）∵S_n=1-a_n，
当n=1时，a₁=S₁=1-a₁，解得a₁=

1

2

．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1），
得2a_n=a_n-1，即

an

an-1

=

1

2

．
∴数列a_n是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列．
∴a_n=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n．
（2）∵b_n=（n+1）a_n，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+（n+1）×(

1

2

)n，①

1

2

T_n=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n+（n+1）×(

1

2

)n+1，②
①-②得：

1

2

T_n=2×

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-（n+1）×(

1

2

)n+1
=1+

( 1 2 )2[1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（n+1）×(

1

2

)n+1
=

3

2

-(

1

2

)n-（n+1）×(

1

2

)n+1
=

3

2

-（n+3）×(

1

2

)n+1
∴T_n=3-（n+3）×(

1

2

)n．
（3）∵c_n=

3an

(2-an)(1-an)

=

3×( 1 2 )n

[2-( 1 2 )n][1-( 1 2 )n]

=3（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

），
∴R_n=c₁+c₂+…+c_n=3[（

1

21-1

-

1

22-1

）+（

1

22-1

-

1

23-1

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）]
=3（1-

1

2n+1-1

）．

点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式的求法，着重考查数列的错位相减法求和与裂项法求和，解题时要熟练掌握数列的性质和应用，属于中档题．