Question

若函数f(x)=|

1

3

x3-

1

2

(a+1)x2+ax|有两个极大值点，则实数a的取值范围是

a＜0或0＜a＜

1

3

或a＞3．

．

Answer 1

分析：不单调的三次函数只有一个极大值和极小值，绝对值的作用是把负值对称成正值，所以本题的等价条件是三次函数的两个极值的符号一个为正，一个为负．

解答：解：设g(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+1)x2+ax，则g'（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）．因为函数f（x）有两个极值，所以函数g（x）不单调，所以a≠1．

①若a＜0，则函数g（x）在x=1处只有一个极小值g（1），当极小值小于0时，加上绝对值则相应变为极大值，所以此时有g(1)=

1

3

-

1

2

(a+1)+a＜0，解得
a＜

1

3

，所以此时a＜0成立．

②若a＞0且a≠1，此时函数分别在x=1处和x=a处，取得极值g（1），g（a），两者一个为极大值，一个为极小值．所以要使函数函数f(x)=|

1

3

x3-

1

2

(a+1)x2+ax|有两个极大值点，则满足g（1）g（a）＜0，即g(1)=

1

3

-

1

2

(a+1)+a=

3a-1

6

，g(a)=

1

3

a3-

1

2

(a+1)a2+a2=

(3-a)a2

6

，所以g(1)g(a)=

3a-1

6

?

(3-a)a2

6

＜0，解得0＜a＜

1

3

或a＞3
综上满足条件的实数a的取值范围是a＜0或0＜a＜

1

3

或a＞3．
故答案为：a＜0或0＜a＜

1

3

或a＞3．

点评：本题考查不单调的三次函数的图象以及绝对值的几何意义，要求熟练掌握不单调的三次函数的图象．对应不单调的三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，当a＞0时的一般图象为：
当a＜0时的图象一般为：