Question

若函数f(x)=1+xcos

π•x

2

，则f（1）+f（2）+…+f（100）=

 

．

Answer 1

分析：根据y=cos

π•x

2

，x∈Z，是以4为周期的周期函数，且x为奇数时，函数值为0，x为偶数时分别得+1与-1，可得f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=f（7）+f（8）+f（9）+f（10）=…，由此规律可求值．

解答：解：∵y=cos

π•x

2

，x∈Z，是以4为周期的周期函数，
f（1）=1+cos

π

2

=1；f（2）=1+2cosπ=-1，
f（3）=1+3cos

3π

2

=1，f（4）=1+4cos2π=5，f（5）=1+5cos

5π

2

=1，f（6）=1+6cos3π=-5，
∴f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+…+f（100）=25[f（3）+f（4）+f（5）+f（6）]=25×2．
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=150．
故答案是150．

点评：本题考查了三角函数的周期性，及利用函数的周期性求函数值，解答本题的关键是发现函数值的变化的规律．