Question

已知函数R, .

  (1) 若a=2，求函数的单调区间

 (2)

 (3) 若关于的方程为自然对数的底数)只有一个实数根, 求的值.

Answer 1

（本题10分）

 (1)解: 函数的定义域为.

     ∴.                …… 1分

时, ;   时, ,         

∴函数在区间上单调递减, 在区间上单调递增.

                                                        ……3分

(2) , 则.             

令,得.

当时, ; 当时, . 

∴函数在区间上单调递增, 在区间上单调递减. …… 5分

∴当时, 函数取得最大值, 其值为.   

所以函数 在定义域上最大值为，无最小值      …… 6分

 (3) 解: 由, 得, 化为.   

由（2）得当时, 函数取得最大值, 其值为.      

而函数,

当时, 函数取得最小值, 其值为.       ……8分

∴ 当, 即时, 方程只有一个根.   …… 10分