Question

【题目】已知如图一，，，，分别为，的中点，在上，且，为中点，将沿折起，沿折起，使得，重合于一点（如图二），设为．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）先根据勾股定理证明，再证明平面，，再根据角的正切值相乘等1判断，从而得出，进而证明结果. （2）以直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面法向量，再利用向量夹角公式计算二面角的余弦值，判断正负，得出结果.

（1）证明：在图一中，，分别为，的中点，∴，∴，∴且，，在图二中，，∴，∴，∵，平面，∴平面，又平面，∴，在梯形中，，∴，∴，又，平面，∴平面；

（2）由（1）可知，平面且，所以建立如图所示坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，∴，令，则，∴，

，，设平面一个法向量为．

∴，，令，则，∴，

，

所以二面角的大小为．