Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，是等边三角形，点在上，且．

（1）证明：//平面．

（2）若平面平面，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接交于点，通过证明//，即可推证线面平行；

（2）取中点为，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得对应平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值即可.

（1）连接交于点，连接．

∵在等腰梯形中，，，

//，∴，∵，∴，

∴，∴//，

又平面，平面，

∴//平面．

（2）取的中点，的中点，连接，，显然．

又平面平面，平面平面，

所以平面．

因为、分別为、的中点，且在等腰梯形中，，

所以．以为原点建立如所示的空间直角坐标系，

设，则，

，，，

∴，

∴

易得为平面的一个法向量，

设平面的一个法向量为，

可得，故，

令，可得，，则．

设二面角的平面角为，则，

即二面角的余弦值为．