题目内容
设x∈（0，
），则下列所有正确结论的序号为
①sinx＜
x；②sinx＞
x；③sinx＜
x；④sinx＞
x；⑤sinx＜
x2； ⑥sinx＞
x2．
| π |
| 2 |
②⑥
②⑥
．①sinx＜
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 4 |
| π2 |
| 4 |
| π2 |
分析：根据选项①②③④的结构特点，可构造函数f（x）=
，利用导数研究函数的单调性，从而得到结论，根据选项⑤⑥的结构特点，构造函数h（x）=
，再利用导数研究函数的单调性，从而得到结论．
| sinx |
| x |
| sinx |
| x2 |
解答：解：令f（x）=
，则f′（x）=
，
令g（x）=xcosx-sinx，则g′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，
∵x∈（0，
），
∴g′（x）＜0，则g（x）＜g（0）=0，
∴f′（x）＜0，即函数f（x）在（0，
）上单调递减，
∴f（x）＞f（
）=
，即
＞
，sinx＞
x，故①正确；
当x∈（0，
]时，f（x）≥f（
）=
，即sinx≥
x，
当x∈（
，
）时，f（x）＜f（
）=
，即sinx＜
x，
故③④都不正确；
令h（x）=
，则h′（x）=
，
令m（x）=xcosx-2sinx，则m′（x）=cosx-xsinx-2cosx=-xsinx-cosx，
∵x∈（0，
），
∴m′（x）＜0，则m（x）＜m（0）=0，
∴h′（x）＜0，即函数h（x）在（0，
）上单调递减，
∴h（x）＞h（
）=
，即
＞
，sinx＞
x2，故⑥正确；
故答案为：②⑥．
| sinx |
| x |
| xcosx-sinx |
| x2 |
令g（x）=xcosx-sinx，则g′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，
∵x∈（0，
| π |
| 2 |
∴g′（x）＜0，则g（x）＜g（0）=0，
∴f′（x）＜0，即函数f（x）在（0，
| π |
| 2 |
∴f（x）＞f（
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| sinx |
| x |
| π |
| 2 |
| 2 |
| π |
当x∈（0，
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
当x∈（
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
故③④都不正确；
令h（x）=
| sinx |
| x2 |
| x(xcosx-2sinx) |
| x4 |
令m（x）=xcosx-2sinx，则m′（x）=cosx-xsinx-2cosx=-xsinx-cosx，
∵x∈（0，
| π |
| 2 |
∴m′（x）＜0，则m（x）＜m（0）=0，
∴h′（x）＜0，即函数h（x）在（0，
| π |
| 2 |
∴h（x）＞h（
| π |
| 2 |
| 4 |
| π2 |
| sinx |
| x2 |
| 4 |
| π2 |
| 4 |
| π2 |
故答案为：②⑥．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的最值，以及构造函数的方法，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．
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