题目内容

设x∈（0，
π
2
），则函数（sin2x+
1
sin2x
）（cos2x+
1
cos2x
）的最小值是
 
．
分析：表达式展开，化简得到
1
4
sin22x+
8
sin22x
-2，转化为
1
4
sin22x+
1
4sin22x
+
31
4sin22x
-2，利用基本不等式求出表达式的最小值即可．
解答：解：（sin2x+
1
sin2x
）（cos2x+
1
cos2x
）=sin2xcos2x+
1
sin2xcos2x 
+
sin2x
cos2x
+
cos2x
sin2x
=sin2xcos2x+
2
sin2xcos2x
-2
=
1
4
sin22x+
8
sin22x
-2=
1
4
sin22x+
1
4sin22x
+ 
31
4sin22x
-2≥
1
2
+
31
4
-2=
25
4
，
当且仅当sin2x=1时，
1
4
sin22x+
1
4sin22x
与
31
4sin22x
同时取得最小值．
故答案为：
25
4
．
点评：本题是中档题，考查三角函数的最值的应用，基本不等式的应用，注意转化思想的应用，sin2x=1时，
1
4
sin22x+
1
4sin22x
与
31
4sin22x
同时取得最小值，是解题的关键；可以利用函数的单调性求出最值．
练习册系列答案
相关题目
规定Cmx=
x(x-1)…(x-m+1)
m！
，其中x∈R，m是正整数，且C0x=1，这是组合数Cmn（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求C3-15的值；
（2）设x＞0，当x为何值时，
C
3
x
(C
1
x
)2
取得最小值？
（3）组合数的两个性质；
①Cmn=Cn-mm． ②Cmn+Cm-1n=Cmn+1．
是否都能推广到Cmx（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．
变式：规定Axm=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m为正整数，且Ax0=1，这是排列数Anm（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求A-153的值；
（2）排列数的两个性质：①Anm=nAn-1m-1，②Anm+mAnm-1=An+1m．（其中m，n是正整数）是否都能推广到Axm（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
（3）确定函数Ax3的单调区间．
设x∈（0，
π
2
），则下列所有正确结论的序号为
②⑥
②⑥
．
①sinx＜
2
π
x；②sinx＞
2
π
x；③sinx＜
3
π
x；④sinx＞
3
π
x；⑤sinx＜
4
π2
x2； ⑥sinx＞
4
π2
x2．
设x＞0，则函数y=2-
4x
-x的最大值为
-2
-2
；此时x的值是
2
2
．
已知函数f(x)=
x
1+x2
，x∈(0，1)．
（1）设x1，x2∈（0，1），证明：（x1-x2）•[f（x1）-f（x2）]≥0；
（2）设x∈（0，1），证明：
3x2-x
1+x2
≥
9
10
(x-
1
3
)；
（3）设x1，x2，x3都是正数，且x1+x2+x3=1，求u=
3
x
2
1
-x1
1+
x
2
1
+
3
x
2
2
-x2
1+
x
2
2
+
3
x
2
3
-x3
1+
x
2
3
的最小值．

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