Question

【题目】已知椭圆的两个焦点为，离心率为．

(1)求椭圆的方程；

(2)设点是椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆交于， 两点，直线， 与直线分别交于， 两点．求证：点在以为直径的圆上．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）由题意，设椭圆方程为 ，

则，解出，即可得到椭圆的方程；

（ 2）由（1）可得. 考虑直线不存在斜率时，可得.在以为直径的圆上. 当直线存在斜率时，设方程为 ， 、.

由可得. 直线方程为，得 , 同理， . 求出，可证.即在以为直径的圆上.

试题解析：

（1）由题意，设椭圆方程为 ，

则

得

所以椭圆方程为

（2）证明：由（Ⅰ）可得.

当直线不存在斜率时，可得

直线方程为，令得,

同理，得.

所以,

得.

所以,在以为直径的圆上.

当直线存在斜率时，设方程为 ， 、.

由可得.

显然,,

直线方程为，得 ,

同理， .

所以.

因为

所以

所以

所以, 在以为直径的圆上.

综上， 在以为直径的圆上.