Question

数列{a_n}中，a₃=1，a₁+a₂+…+a_n=a_n+1（n=1，2，3…）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n及数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=log₂S_n，存在数列{c_n}使得c_n•b_n+3•b_n+4=1+n（n+1）（n+2）S_n，试求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁+a₂+…+a_n=a_n+1，a₃=1，分别令n=1可求a₁，a₂
（2）由已知可得，s_n=a_n+1=s_n+1-s_n，结合等比数列的通项公式可求s_n，进而可求a_n
（3）由（2）可求b_n=log₂S_n=n-2，代入已知可求c_n，然后利用分组求和及裂项求和、错位相减即可求解数列的和

解答：解：（1）∵a₁+a₂+…+a_n=a_n+1，a₃=1
令n=1可得，a₁=a₂
令n=2可得，a₁+a₂=a₃=1
∴a1=

1

2

，a2=

1

2

；…．（2分）
（2）∵a₁+a₂+…+a_n=a_n+1，即s_n=a_n+1=s_n+1-s_n
∴s_n+1=2s_n
∵a₁=s₁=

1

2

∴{s_n}是以

1

2

为首项，以2为公比的等比数列
∴sn=

1

2

•2n-1
即Sn=2n-2；…．（3分）
∴a_n+1=s_n=2^n-2
∴an=

1 2 ，n=1 2n-3，n≥2

…（3分）
（3）∵b_n=log₂S_n=n-2
又∵c_n•b_n+3•b_n+4=1+n（n+1）（n+2）S_n，
∴cn=

1+n(n+1)(n+2)•2n-2

(n+1)(n+2)

∴cn=

1

(n+1)(n+2)

+n•2n-2…（3分）
∵

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n+1)(n+2)

=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

设A=1•2^-1+2•2⁰+…+n•2^n-2
∴2A=1•2⁰+2•2+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1
两式相减可得，-A=2^-1+2⁰+…+2^n-2-n•2^n-1=

1 2 (1-2n)

1-2

-n•2n-2×2
=

1

2

(2n-1)-n•2n-2×2=2n-1-

1

2

-n•2n-1
∴A=（n-1）•2^n-1+

1

2

∴c₁+c₂+…+c_n=

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n+1)(n+2)

+1•2^-1+2•2⁰+…+n•2^n-2
=

1

2

-

1

n+2

+(n-1)•2n-1+

1

2

=1-

1

n+2

+(n-1)•2n-1
∴c1+c2+…+cn=(n-1)•2n-1+

n+1

n+2

…．（3分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项、等比数列的通项公式的应用及数列的分组求和、裂项求和、错位相减求和方法的应用．