题目内容
设函数
，其中
为自然对数的底数.
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）记曲线
在点
（其中
）处的切线为
，与
轴、
轴所围成的三角形面积为
，求的最大值
解：（Ⅰ）由已知
，
所以
， ……………2分
由
，得
， ……………3分
所以，在区间
上，
，
函数
在区间上单调递减； ……………4分
在区间
上，
，
函数在区间上单调递增； ……………5分
即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（Ⅱ）因为
，
所以曲线在点
处切线为：
. ……………7分
切线与轴的交点为
，与轴的交点为
， ……………9分
因为，所以
， ……………10分
， ……………12分
在区间
上，函数
单调递增，在区间
上，函数单调递减.
……………13分
所以，当
时，有最大值，此时
，
所以，的最大值为
. ……………14分
解析
，其中a>0.
的单调区间；
是曲线
的切线，求实数a的值；
，求
在区间
上的最大值（其中e为自然对的底数）。
，
，（其中
为自然底数）；
（
）的最小值；
使得
且
对一切
中，
，
，求证：
。
，函数
（其中
为自然对数的底数）． 
在区间
上的最小值； 
，当
时，若对任意
，存在
，使得
，求实数
的取值范围．已知函数
其中
为自然对数的底数，
.(Ⅰ)设
，求函数
的最值；（Ⅱ）若对于任意的
，都有
成立，求
的取值范围.
【解析】第一问中，当
时，
，
．结合表格和导数的知识判定单调性和极值，进而得到最值。
第二问中，∵
，
，
∴原不等式等价于：
,
即
, 亦即
分离参数的思想求解参数的范围
解：（Ⅰ)当时，，．
当在
上变化时，
，
的变化情况如下表：
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|
|
|
|
|
－ |
|
＋ |
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|
1／e |
∴
时，
，
．
(Ⅱ)∵，，
∴原不等式等价于：
,
即, 亦即．
∴对于任意的
，原不等式恒成立,等价于对
恒成立,
∵对于任意的时, 
（当且仅当
时取等号）．
∴只需
，即
，解之得
或
.
因此，的取值范围是