Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，O为AD的中点，PA=PD=2，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，CD=$\sqrt{3}$，M是棱PC上一点，PA∥平面MOB；
（1）证明：CD⊥平面PAD；
（2）求证：M是棱PC的中点；
（3）求三棱锥M-POB的体积．

Answer 1

分析 （1）由CD⊥AD，利用面面垂直的性质定理即可得出CD⊥底面PAD．
（2）连接AC交OB于点N，连接MN．由BC∥AO，BC=AO，可得AN=NC．再利用线面平行的性质定理可得AP∥MN，即可证明．
（3）由PA=PD=2=AD，OA=OD，可得PO⊥AD．利用面面垂直的性质定理可得：PO⊥平面ABCD．于是V_M-OPB=$\frac{1}{2}{V}_{P-OBC}$，即可得出．

解答 （1）证明：∵CD⊥AD，
平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴CD⊥底面PAD．
（2）证明：连接AC交OB于点N，连接MN．
∵BC∥AO，BC=AO，
∴AN=NC．
∵PA∥平面MOB，平面PAC∩平面OMB=MN，
∴AP∥MN，又AN=NC．
∴PM=MC．
（3）解：∵PA=PD=2=AD，OA=OD，
∴PO⊥AD．
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD．
∴V_M-OPB=$\frac{1}{2}{V}_{P-OBC}$
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}{S}_{△OBC}•PO$
=$\frac{1}{6}$×$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1$×$\sqrt{3}$
=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了空间线面面面的位置关系、三角形中位线定理、平行线的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．