Question

9．（1）设a，b，c为正数，且a+2b+3c=13，则$\sqrt{3a}$+$\sqrt{2b}$+$\sqrt{c}$的最大值为$\frac{13\sqrt{3}}{3}$；
（2）设正实数a，b，c满足abc≥1，求$\frac{{a}^{2}}{a+2b}$+$\frac{{b}^{2}}{b+2c}$+$\frac{{c}^{2}}{c+2a}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用柯西不等式：$\sqrt{3}$•$\sqrt{a}$+1•$\sqrt{2b}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{3c}$≤$\sqrt{（3+1+\frac{1}{3}）（a+2b+3c）}$；
（2）运用柯西不等式：[（a+2b）+（b+2c）+（c+2a）]•（$\frac{{a}^{2}}{a+2b}$+$\frac{{b}^{2}}{b+2c}$+$\frac{{c}^{2}}{c+2a}$）≥（a+b+c）²．

解答 解：（1）根据柯西不等式，
$\sqrt{3a}$+$\sqrt{2b}$+$\sqrt{c}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{a}$+1•$\sqrt{2b}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{3c}$≤$\sqrt{（3+1+\frac{1}{3}）（a+2b+3c）}$=$\frac{13\sqrt{3}}{3}$，
即$\sqrt{3a}$+$\sqrt{2b}$+$\sqrt{c}$的最大值为$\frac{13\sqrt{3}}{3}$；
（2）根据柯西不等式，
[（a+2b）+（b+2c）+（c+2a）]•（$\frac{{a}^{2}}{a+2b}$+$\frac{{b}^{2}}{b+2c}$+$\frac{{c}^{2}}{c+2a}$）≥（a+b+c）²，
所以，$\frac{{a}^{2}}{a+2b}$+$\frac{{b}^{2}}{b+2c}$+$\frac{{c}^{2}}{c+2a}$≥$\frac{a+b+c}{3}$，
根据平均值不等式：$\frac{a+b+c}{3}$≥$\root{3}{abc}$=1，
所以，$\frac{{a}^{2}}{a+2b}$+$\frac{{b}^{2}}{b+2c}$+$\frac{{c}^{2}}{c+2a}$的最小值为1．

点评 本题主要考查了运用柯西不等式求最值，以及基本不等式的应用，属于中档题．