Question

复数z=log₂（x²-3x-3）+ilog₂（x-3），设z在复平面上对应的点为Z。
（1）求证：复数z不能是纯虚数；
（2）若点z在第三象限内，求x的取值范围；
（3）若点z在直线x-2y+1=0上，求x的值。

Answer 1

解：（1）证明：（反证法）假设z为纯虚数，
则有log₂（x²- 3x-3）=0，
x²-3x-3=1，
解得x=-1，或x=4，
当x=-1时，log₂（x-3）无意义；
当x=4时，log₂（x-3）=0，
∴复数z不能是纯虚数；
（2）由题意得
解得，
即当时，点Z在第i象限内；
（3）由题意得log₂（x²-3x-3）-2log₂（x-3）+1=0，
解得x=，或（舍去），
即当时，
点Z在直线x-2y+1=0 上。