题目内容

已知向量
m
=(sinx，2cosx)，
n
=(2cosx，cosx)，f(x)=
m
•
n
，(x∈R)，
（1）求f（x）的最小正周期及对称中心； 
 （2）求f（x）在x∈[0，
π
2
]上的值域；
（3）令g（x）=f（x+φ）-1，若g（x）的图象关于原点对称，求φ的值．
分析：（1）通过向量的数量积以及二倍角公式化简函数为 一个角的一个三角函数的形式，然后直接求f（x）的最小正周期及对称中心； 
 （2）通过x∈[0，
π
2
]，求出函数的相位的范围，利用正弦函数的值域，直接求解函数的值域；
（3）通过g（x）=f（x+φ）-1，求出g（x）的表达式，然后利用图象关于原点对称，求φ的值．
解答：解：
f(x)=
m
•
n
=2sinx•cosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1

 
=
2
sin(2x+
π
4
)+1

 
①T=
2π
2
=π，令2x+
π
4
=kπ?x=-
π
8
+
kπ
2
，k∈z

对称中心为(-
π
8
+2kπ，1)   k∈z．
②由
 
x∈[0，
π
2
]?2x+
π
4
∈[
π
4
，
5
4
π]

 
?sin(2x+
π
4
)∈[-
2
2
，1]

 
∴ f(x)∈[0，
2
+1]

③由题意
 
g(x)=f(x+φ)-1=
2
sin(2x+2φ+
π
4
)+1-1

 
=
2
sin(2x+2φ+
π
4
)

函数是奇函数，
 
∴  g(0)=
2
sin(2φ+
π
4
)=0

 
∴  2φ+
π
4
=kπ?φ=-
π
8
+
kπ
2
，k∈z
点评：本题考查正弦函数的对称性，平面向量数量积的运算，两角和与差的正弦函数，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域的知识，考查计算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，则sin2θ的值为
 
已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，设函数f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移
1
2
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上[0，
3π
4
]上的取值范围．
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，当θ∈[0，π]时，函数f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．
（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面积．

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