Question

【题目】已知函数（其中为自然对数的底数），.

（Ⅰ）当时，求的最小值；

（Ⅱ）记，请证明下列结论：

①若，则对任意，有；

②若，则存在实数，使.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出， 求得 的范围，可得函数增区间， 求得 的范围，可得函数的减区间,根据函数的单调性可求的最小值；（Ⅱ） 时，可证在上单调递增，则对任意，有， 时，两次求导， 在上单调递减，则，可证存在实数，使.

试题解析：（Ⅰ）当时， ，则.

当时， ，即在上单调递减；

当时， ，即在上单调递增.

故.

（Ⅱ），则.

①若，由（1）知，即，

于是 ，

所以在上单调递增，则对任意，有；

②若，令.

则在上单调递增，且，

故存在唯一的，使，

则当时， ，即在上单调递减，

故，从而在上单调递减，则，

即存在实数，使.