Question

【题目】为抛物线的焦点，过点的直线与交于、两点，的准线与轴的交点为，动点满足．

（1）求点的轨迹方程；

（2）当四边形的面积最小时，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求出F，E的坐标，设l方程为x﹣my﹣1=0，联立方程组消元，根据根与系数的关系求出AB中点坐标，由向量加法的几何意义可知AB的中点也是EP的中点，利用中点坐标公式得出P的轨迹关于m的参数方程，转化为普通方程即可；

（2）利用弦长公式和点到直线的距离公式计算|AB|，E到l的距离d，得出S关于m的函数，求出S取得最小值时的m，代入x﹣my﹣1=0得出l的方程．

（1）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），∴E（﹣1，0）．

设直线l的方程为x﹣my﹣1=0．

联立方程组，消元得：y2﹣4my﹣4=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），则y1+y2=4m，x1+x2=m（y1+y2）+2=4m2+2．

∴AB的中点坐标为M（2m2+1，2m）．

∵=+=2，∴M为EP的中点．

∴，∴，即y2=4x﹣12．

∴点P的轨迹方程为y2=4x﹣12．

（2）由（I）得y1+y2=4m，y1y2=﹣4．

∴|AB|===4（m2+1）．

E到直线l：x﹣my﹣1=0的距离d=，

∴S△ABE=|AB|d=4，

∵=+，∴四边形EAPB是平行四边形，

∴平行四边形EAPB的面积S=2S△ABE=8．

∴当m=0时，S取得最小值8．

此时直线l的方程为x﹣1=0．