Question

已知函数，y=f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）
（I ）要使f（x）在（0，1）上单调递增，求a的取值范围；
（II）当a＞0时，若函数f（x）的极小值和极大值分别为1、，试求函数y=f（x）的解析式；
III 若x∈[0，1]时，y=f（x）图象上任意一点处的切线倾斜角为θ，当≤θ≤．时，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求导函数f′（x），要使f（x）在区间（0，1）上单调递增，只需x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，然后转化成 恒成立，即可求出a的范围；
（II）由（I）中导函数的解析式，我们易求出函数取极值时x的值，然后根据函数f（x）的极小值和极大值分别为1、，构造关于a，b的方程，解方程后即可求出函数y=f（x）的解析式；
（III）根据导数的几何意义可知tanθ=f′（x），然后根据倾斜角为θ的范围求出f′（x）的范围在x∈[0，1]恒成立，将a分离出来，使之恒成立即可求出a的范围．
解答：解：（I）f′（x）=-3x²+2ax，
由题设，当x∈（0，1）时，f′（a）＞0恒成立，
即-3x²+2ax＞0恒成立，
∴恒成立，
∴
（II）由（I）得，令f′（x）=-3x²+2ax=0
则x=0，或x=
又∵a＞0时，函数f（x）的极小值和极大值分别为1、，
故f（0）=1，f（）=
解得a=1，b=1
∴f（x）=-x³+x²+1
（III）当x∈[0，1]时，tanθ=f′（x）=-3xh3+2ax
∵．∴0≤f'（x）≤1．
∴0≤-3x²+2ax≤1
在x∈[0，1]恒成立，由（1）知，当-3x²+2ax≥0时，，
由 恒成立，
又 ，∴
∴
点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用转化与划归的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力，属于中档题．