Question

9．已知函数f（x）=2^x，g（x）=$\frac{1}{{2}^{|x|}}$+2．
（I）求函数g（x）的值域；
（Ⅱ）解方程：f（x）=g（x）．

Answer 1

分析 （I）由2^|x|≥1，可得0＜$\frac{1}{{2}^{|x|}}$≤1，即可得出函数g（x）的值域．
（2）f（x）=g（x），可得2^x=$\frac{1}{{2}^{|x|}}$+2．对x分类讨论化为一元二次方程类型方程解出即可．

解答 解：（I）∵2^|x|≥1，∴0＜$\frac{1}{{2}^{|x|}}$≤1，∴2＜g（x）≤3．
∴函数g（x）的值域为（2，3]；
（2）f（x）=g（x），∴2^x=$\frac{1}{{2}^{|x|}}$+2．
当x≥0时，化为2^x=$\frac{1}{{2}^{x}}$+2，即（2^x）²-2×2^x-1=0，∴2^x=$\frac{2+2\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$+1，∴x=$lo{g}_{2}（\sqrt{2}+1）$．
当x＜0时，化为2^x=$\frac{1}{{2}^{-x}}$+2，即2=0，无解．
综上可得：方程f（x）=g（x）的解为x=$lo{g}_{2}（\sqrt{2}+1）$．

点评 本题考查了指数函数的单调性及其方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．