Question

【题目】已知函数，设，，其中，．

（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（2）记，求证：．

Answer 1

【答案】（1）．（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）求得导函数，代入求得的解析式，在区间上单调递增，可知，在区间上恒成立，即在上恒成立．构造辅助函数求导，利用导数求得函数的最小值，即可求得的取值范围；（2）由（1）求得的解析式．进一步化解，构造辅助函数，求导，利用导数求的函数的单调区间及最小值，即可求得．

试题解析：解：（1）函数，，

所以函数，∵函数在区间上单调递增，

∴在区间上恒成立，所以在上恒成立．

令，则，当时，，

∴，∴实数的取值范围为．

（2），

令，则

．

令，则，显然在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，则，故．