Question

【题目】设函数，．

（1）若函数在处有极值，求函数的最大值；

（2）①是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；

②证明：不等式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）由的解,即可得出极值点,得出值后,再利用导函数求单调区间；（2）①本题为恒成立问题,利用函数的增减性和端点值来求解,而函数的单调性由导函数的正负来决定；②运用不等式的放缩与基本不等式的性质,证明右边项时采用了数列的增减性的基本定义来证明,通过说明数列时单调递减来证明不等式,在证明右侧时,采用将裂项的方法,将详见得到的每一项放缩,最后利用裂项相消来证得不等式成立．

试题解析：解：（1）由已知得：，且函数在处有极值

∴，即，∴

∴．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

∴函数的最大值为．

（2）①由已知得：

（ⅰ）若，则时，

∴在上为减函数，

∴在上恒成立；

（ⅱ）若，则时，

∴在上为增函数，

∴，不能使在上恒成立；

（ⅲ）若，则时，，

当时，，∴在上为增函数，

此时，∴不能使在上恒成立；

综上所述，的取值范围是．

②由以上得：

取得：，令，

则，．

因此

又

故

．