Question

8．设f（x）=$\sqrt{1+{x}^{2}}$（x₁≠x₂）比较|f（x₁）-f（x₂）|与|x₁-x₂|的大小．

Answer 1

分析 利用作商法，结合不等式的性质，利用放缩法进行判断即可．

解答 解：∵x₁≠x₂，
∴$\frac{|f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）|}{|{x}_{1}-{x}_{2}|}$=$\frac{|\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}-\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}|}{|{x}_{1}-{x}_{2}|}$=|$\frac{1+{{x}_{1}}^{2}-1-{{x}_{2}}^{2}}{（{x}_{1}-{x}_{2}）（\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}）}$|=|$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{（{x}_{1}-{x}_{1}）（\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}）}$|
=$\frac{{|x}_{1}+{x}_{2}|}{\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}}$，
若x₁x₂＞0，
则$\frac{{|x}_{1}+{x}_{2}|}{\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}}$＜$\frac{|{x}_{1}|+|{x}_{2}|}{|{x}_{1}|+|{x}_{2}|}$=1，
此时，|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|，
若x₁x₂＜0，
则$\frac{{|x}_{1}+{x}_{2}|}{\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}}$＜$\frac{|{x}_{1}|+|{x}_{2}|}{\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}}$＜$\frac{|{x}_{1}|+|{x}_{2}|}{|{x}_{1}|+|{x}_{2}|}$=1，
此时，|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|，
综上恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|．

点评 本题主要考查不等式的大小比较，利用作商法，结合不等式的性质是解决本题的关键．