Question

如图，在四棱锥S—ABCD中，侧棱SA=SB=SC=SD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点.

（1）求证：AC⊥平面SBD；

（2）若E为BC中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的轨迹，并证明你的结论.

Answer 1

证明：(1)∵底面ABCD是菱形，O为中心,∴AC⊥BD.

又SA=SC，∴AC⊥SO，而SO∩BD=O，

∴AC⊥面SBD.

(2)取棱SC中点M，CD中点N，连结MN，

则动点P的轨迹即是线段MN.

证明：连结EM、EN，∵E是BC中点，M是SC中点，

∴EM∥SB.同理EN∥BD.∵AC⊥面SBD,∴AC⊥SB.

∴AC⊥EM.

同理AC⊥EN.又∵EM∩EN=E，∴AC⊥面EMN.

因此，当P点在线段MN上运动时，总有AC⊥EP,

P点不在线段MN上时，不可能有AC⊥EP.