Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2，E为PD的中点
（1）求异面直线PA与CE所成角的大小；
（2）（理）求二面角E-AC-D的大小．
（文）求三棱锥A-CDE的体积．

Answer 1

分析：（1）要求异面直线PA与CE所成角的大小，我们可以采用平移法，过E做PA的平行线EF，则EF与CE所成的角即为两条异面直线所成的角，解三角形△CEF即可得到答案．
（2）（理）要求二面角E-AC-D的大小，我们要先做出二面角的平面角，根据三垂线定理，我们易得∠EHF即为所求，解三角形EHF即可得到答案．
（文）要求三棱锥A-CDE的体积，我们可以转化为求三棱锥E-ACD的体积，计算出△ACD面积，结合（1）中EF（棱锥的高）代入棱锥体积公式，即可得到答案．

解答：证明：（1）过E作EF⊥AD交AD于F，
则∠CEF是异面直线PA与CE的夹角（3分）
连接CF，在Rt△CEF中EF=

1

2

，CF=

2

∴tan∠CEF=2

2

，
∴夹角大小为arctan2

2

（7分）

（2）过F作FH⊥AC于H，
则∠EHF是二面角E-AC-D的平面角（10分）
HF=

1

5

，tan∠EHF=

5

2

∴二面角E-AC-D的大小为arctan

5

2

（14分）
（2）（文）VA-CDE=VE-ACD=

1

3

(

1

2

×1×2)×

1

2

=

1

6

（14分）

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，异面直线所成的角，二面角及其度量，（1）中求异面直线夹角问题的关键是利用平移法，将异面直线所成的角转化为相交直线的夹角（2）（理）中求二面角的大小关键是构造出二面角的平面角，（文）中求棱锥的体积，利用转化思想可以简化计算．