题目内容

已知直线y=-x+1与椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为 $数学公式$ ，焦距为2，求线段AB的长；
（2）在（1）的椭圆中，设椭圆的左焦点为F₁，求△ABF₁的面积．

解：（1）∵椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，焦距为2，
∴ $\text{[math]}$
∴c=1，a= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
∴椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ．
直线y=-x+1与椭圆方程联立，消去y可得：5x²-6x-3=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂=- $\text{[math]}$
∴|AB|= $\text{[math]}$ |x₁-x₂|= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
（2）由（1）可知椭圆的左焦点坐标为F₁（-1，0），直线AB的方程为x+y-1=0，
所以点F₁到直线AB的距离d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又|AB|= $\text{[math]}$ ，
∴△ABF₁的面积S= $\text{[math]}$ |AB|•d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，焦距为2，建立方程，求得几何量，从而可得椭圆方程，直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，可求线段AB的长；
（2）求出点F₁到直线AB的距离，即可求△ABF₁的面积．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．