Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=1，AA₁=2，点E为CC₁的中点，点F为BD₁的中点，
（Ⅰ）证明EF为BD₁与CC₁的公垂线；
（Ⅱ）求点D₁到面BDE的距离。

Answer 1

（Ⅰ）证明：取BD中点M，连结MC，FM，
∵F为BD₁中点，
∴FM∥D₁D且FM=D₁D，
又EC=CC₁，且EC⊥MC，
∴四边形EFMC是矩形，
∴EF⊥CC₁，
又CM⊥面DBD₁，
∴EF⊥面DBD₁，
∵BD₁面DBD₁，
∴EF⊥BD₁，
故EF为BD₁与CC₁的公垂线。
（Ⅱ）解：连结ED₁，有，
由（Ⅰ）知EF⊥面DBD₁，
设点D₁到面BDE的距离为d，
则S_△DBC·d=·EF，
∵AA₁=2·AB=1，
∴，
∴，
故点D₁到平面BDE的距离为。