Question

（本小题满分13分）

已知点，，△的周长为6．

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与曲线相交于不同的两点，．若点在轴上，且，求点的纵坐标的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

(1)     (2)

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）由题意可知，，

故动点的轨迹是以，为焦点的椭圆.                   ………………………1分

设其方程为，则，，，.       ………………………3分

所以椭圆的方程为                          ………………………4分

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，满足条件的点的纵坐标为.    ………………………5分

当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

联立得，

. .          ………………………6分

设，，则.

设的中点为，则，，

所以.                                  ………………………9分

由题意可知，

又直线的垂直平分线的方程为.

令解得.                           ………………………10分

当时，因为，所以；

当时，因为，所以.           ………………………12分

综上所述，点纵坐标的取值范围是.               ………………………13分

考点：本试题考查了轨迹方程，直线与圆锥曲线位置关系。

点评：解决这类问题的关键是能利用已知中的条件，结合圆锥曲线的定义，来求解轨迹方程，同时能结合直线与椭圆的方程，联立方程组，对于线段相等，运用等腰三角形中线是高线来得到垂直关系进而得到分析，属于中档题。