Question

【题目】已知数列的首项，且，.

（1）证明：是等比数列；

（2）若，中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在，请说明理由；

（3）若是递减数列，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析；（3）

【解析】

（1）利用等比数列的定义即可得证；

（2）由等差中项可得，再运算即可得解；

（3）由是递减数列，则恒成立，再利用最值法即可得解.

解：（1）由，所以，

又，所以，

故数列是以为首项，2为公比的等比数列；

（2）当时，由（1）得，

所以，

设中存在连续三项成等差数列，

则，即，

化简得：，又 ，即此方程无解，

故不存在连续三项成等差数列；

（3）由（1）得，

由是递减数列，则，

即恒成立，

即恒成立，

又当时，取最小值，

即，又，

故的取值范围为：.