题目内容

已知：
a
=(
3
sinx，cosx)，
b
=(cosx，cosx)，f(x)=2
a
•
b
+2m-1(x，m∈R)．
（1）求f（x）关于x的表达式，并求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，
π
2
]时，f（x）的最小值为5，求m的值．
分析：（1）利用两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式，化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+
π
6
 ）+2m，
求得周期．
（2）x∈[0，
π
2
]时，可得2x+
π
6
 的范围，得到当 2x+
π
6
=
7π
6
 时，函数 f（x）取的最小值为2m-1=5，
解出m的值．
解答：解：（1）f（x）=2
a
•
b
+2m-1(x，m∈R)=2
3
sinxcosx+2cos2x-1
=
3
sin2x+cos2x+2m=2sin（2x+
π
6
 ）+2m，故f（x） 的最小正周期等于 π．
（2）若x∈[0，
π
2
]时，则
π
6
≤2x+
π
6
≤
7π
6
，故当 2x+
π
6
=
7π
6
 时，函数 f（x）取的最小值为2m-1，
由2m-1=5，可得m=3．
点评：本题考查两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式，正弦函数的最值，化简函数f（x）的解析式，是
解题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(
3
sinωx，cosωx)，
b
=(cosωx，-cosωx)，(ω＞0)，函数f(x)=
a
•
b
+
1
2
的图象的两相邻对称轴间的距离为
π
4
，
（1）求ω；
（2）若x∈(0，
5
12
π)时，求函数f（x）的单调递增区间；
（3）若cosx≥
1
2
，x∈(0，π)，且f（x）=m有且仅有一个实根，求实数m的值．
已知向量
a
=(
3
sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，则
a
•
b
的最大值为
 
．
已知向量
a
=(
3
sinωx，cosωx)，
b
=（cosωx，-cosωx），ω＞0，记函数f（x）=
a
•
b
，已知f（x）的最小正周期为
π
2
．
（1）求ω的值；
（2）设△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求此时函数f（x）的值域．
已知向量
a
=(
3
sin(π-ωx)，cosωx)，
b
=(cosωx，-cosωx)，函数f(x)=
a
•
b
+
1
2
（ω＞0）的图象的两相邻对称轴间的距离为
π
4
．
（1）求ω值；
（2）若cosx≥
1
2
，x∈(0，π)，且f（x）=m有且仅有一个实根，求实数m的值．
已知向量
a
=(
3
sinωx，cosωx)，
b
=(cosωx，cosωx)，ω＞0，记函数f（x）=
a
•
b
，
若函数f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）当0＜x≤
π
3
时，试求f（x）的值域；
（3）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．

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