题目内容
已知向量
=(
sinωx,cosωx),
=(cosωx,cosωx),ω>0,记函数f(x)=
•
,
若函数f(x)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)当0<x≤
时,试求f(x)的值域;
(3)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间.
a |
3 |
b |
a |
b |
若函数f(x)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)当0<x≤
π |
3 |
(3)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间.
分析:(1)可利用向量的坐标运算公式结合正弦与余弦的二倍角公式求得f(x)=
•
=sin(2ωx+
)+
,由最小正周期为π即可求得ω的值;
(2)0<x≤
⇒2x+
∈(
,
)⇒
≤sin(2x+
)≤1,f(x)的值域可求得;
(3)2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
,k∈Z⇒kπ-
≤x≤kπ+
,k∈Z,令k取特值0,1即可求得f(x)在[0,π]上的单调递增区间.
a |
b |
π |
6 |
1 |
2 |
(2)0<x≤
π |
3 |
π |
6 |
π |
6 |
5π |
6 |
1 |
2 |
π |
6 |
(3)2kπ-
π |
2 |
π |
6 |
π |
2 |
π |
3 |
π |
6 |
解答:解:(1)f(x)=
sinωxcosωx+cos2ωx=
sin2ωx+
=sin(2ωx+
)+
…(3分)
∵ω>0,∴T=
=π,∴ω=1…(4分)
(2)由(1),f(x)=sin(2x+
)+
,
∵0<x≤
,
∴
<2x+
≤
,
∴
≤sin(2x+
)≤1,
∴f(x)的值域为[1,
]…(8分)
(3)由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
,k∈Z,
得kπ-
≤x≤kπ+
,k∈Z…(10分)
又∵x∈[0,π],∴0≤x≤
,或
≤x≤π,
∴f(x)在[0,π]上的单调递增区间为[0,
],[
,π]…(12分)
3 |
| ||
2 |
1+cos2ωx |
2 |
π |
6 |
1 |
2 |
∵ω>0,∴T=
2π |
2ω |
(2)由(1),f(x)=sin(2x+
π |
6 |
1 |
2 |
∵0<x≤
π |
3 |
∴
π |
6 |
π |
6 |
5π |
6 |
∴
1 |
2 |
π |
6 |
∴f(x)的值域为[1,
3 |
2 |
(3)由2kπ-
π |
2 |
π |
6 |
π |
2 |
得kπ-
π |
3 |
π |
6 |
又∵x∈[0,π],∴0≤x≤
π |
6 |
2π |
3 |
∴f(x)在[0,π]上的单调递增区间为[0,
π |
6 |
2π |
3 |
点评:本题考查平面向量数量积的运算,正弦函数的定义域和值域及正弦函数的单调性,着重考查正弦函数的图象与性质的综合应用,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目