Question

已知向量

a

=(

3

sin(π-ωx)，cosωx)，

b

=(cosωx，-cosωx)，函数f(x)=

a

•

b

+

1

2

（ω＞0）的图象的两相邻对称轴间的距离为

π

4

．
（1）求ω值；
（2）若cosx≥

1

2

，x∈(0，π)，且f（x）=m有且仅有一个实根，求实数m的值．

Answer 1

分析：符号错误：w应该是ω．
（1）利用两个向量的数量积的运算求出f（x）=sin（2ωx-

π

6

），再根据图象的两相邻对称轴间的距离为

π

4

求得ω=2．
（2）若cosx≥

1

2

，x∈(0，π)，求得-

1

2

≤sin（4x-

π

6

）≤1，令t=4x-

π

6

，h（t）=sint，t∈（-

π

6

，

7π

6

]，则函数 h（t）的图象和直线y=m只有一个交点，数形结合求出m的值

解答：解：（1）函数f(x)=

a

•

b

+

1

2

=

3

sin（π-ωx）cosωx-cos²ωx+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1+cos2ωx

2

+

1

2

=sin（2ωx-

π

6

），
再由函数f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为

π

4

可得

1

2

•

2π

2ω

=

π

4

，解得ω=2，函数f（x）=sin（4x-

π

6

）．
（2）若cosx≥

1

2

，x∈(0，π)，则有 0＜x≤

π

3

，-

π

6

＜4x-

π

6

≤

7π

6

，-

1

2

≤sin（4x-

π

6

）≤1．
由f（x）=m有且仅有一个实根，可得函数f（x） 的图象和直线y=m只有一个交点．
令t=4x-

π

6

，h（t）=sint，t∈（-

π

6

，

7π

6

]，则函数 h（t）的图象和直线y=m只有一个交点，如图所示：
数形结合可得∴m=1，或m=-

1

2

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，函数y=Asin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．