Question

已知函数，．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若方程仅有一个实根，求实数的取值集合．

Answer 1

（1）单调递增区间为，不存在单调递减区间；（2）或；

【解析】

试题分析：（1）由题可知，将代入，可得，由于真数x（x+1）>0,可知x（x+1）在定义域上始终递增，外层对数函数始终递增，即单调递增区间为，不存在单调递减区间；（2）由题可知，由，即，根据真数大于0，真数相等，可列出不等式组，对k进行讨论，即可得出k的取值；

试题解析：（Ⅰ）当时， （其中），由复合函数单调性可知内层函数x（x+1）在定义域上始终递增，外层对数函数始终递增，所以，的单调递增区间为，不存在单调递减区间；

（Ⅱ）由，即．该方程可化为不等式组

（1）若时，则，原问题即为：方程在上有根，解得；

（2）若时，则，原问题即为：方程在上有根，解得．综上可得或为所求．

考点：①复合函数的单调性②对数函数单调性的应用