题目内容

海中有一小岛，周围 $数学公式$ n mile内有暗礁，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东60°，航行6n mile以后，望见这岛在北偏东30°．如果这艘海轮不改变航向继续前行，则经过________n mile后海轮会触礁．

$\text{[math]}$
分析：由题意可得∠ACB=30°，CD=6n，∠ADB=60°，△ACD为等腰三角形，由此求得AD=CD=6n，由此求得小岛A到直线CD的
距离AB的值，可得此值小于4 $\text{[math]}$ n．设海轮继续沿 $\text{[math]}$ 方向航行到点E处触礁，求得AE和BE、BD，可得DE=BD-BE的值，
而DE的值即为所求．
解答：

解：如图所示：设小岛为点A，海轮由西C向东D航行，由题意额可得∠ACB=30°，CD=6n，∠ADB=60°．
由于∵∠ADB=∠ACB+∠CAD，∴∠CAD=30°，故△ACD为等腰三角形，∴AD=CD=6n．
由于小岛A到直线CD的距离AB=AD•sin∠ADB=6n• $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ n＜4 $\text{[math]}$ n．
设海轮继续沿 $\text{[math]}$ 方向航行到点E处触礁，则AE=4 $\text{[math]}$ n，BE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ n．
由于BD=AD•cos∠ADB=6n• $\text{[math]}$ =3n，故有DE=BD-BE=3n- $\text{[math]}$ n （mile），
故答案为 3- $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查了三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路，属于中档题．