Question

（2012•安徽模拟）已知函数f（x）=-

1

2

x²+3x+（

9

2

sinθ）lnx
（1）当sinθ=-

4

9

时，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，求θ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当sinθ=-

4

9

时，f（x）=-

1

2

x²+3x-2lnx（x＞0），求导函数，令f′（x）＞0，可得函数的单调递增区间；令f′（x）＜0，x＞0，可得函数的单调递减区间；
（2）求导函数，构造新函数，根据函数f（x）在（0，+∞）上不是单调函数，即可求θ的取值范围．

解答：解：（1）当sinθ=-

4

9

时，f（x）=-

1

2

x²+3x-2lnx（x＞0）
∴f′(x)=-x+3-

2

x

=

-x2+3x-2

x

令f′（x）＞0，可得1＜x＜2；令f′（x）＜0，x＞0，可得x＜1或x＞2
∴函数的单调递增区间为（1，2），单调递减区间为（0，1）或（2，+∞）
（2）∵f′(x)=-x+3+

9sinθ

2x

=

-2x2+6x+9sinθ

x

令y=-2x²+6x+9sinθ（x＞0），其对称轴为x=

3

2

＞0
∵函数f（x）在（0，+∞）上不是单调函数
∴△=36+72sinθ＞0
∴sinθ＞-

1

2

∴θ∈(2kπ-

π

6

，2kπ+

7π

6

)(k∈Z)

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查三角函数知识，属于中档题．