Question

【题目】已知，，其中．

（1）若，令函数，解不等式；

（2）若，，求的值域；

（3）设函数，若对于任意大于等于2的实数，总存在唯一的小于2的实数，使得成立，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，值域为，当时，值域为；（3）

【解析】

（1）先由导函数得出在上的单调性，再根据单调性解函数不等式即可；（2）先求出的范围，再根据指数函数的单调性求得值域；（3）首先对进行分类讨论，接下来研究函数的单调性，再由“总存在唯一的小于2的实数，使得成立”分别求出两函数的值域，使得的值域为的值域的子集，建立不等关系，解之即可．

（1）∵，时，

，

则且，，

∴，∴函数为单调递减函数，

又，，

∴，

整理得，解得或，

不等式的解集为.

（2）∵，，∴，

∴，所以的值域为.

（3）①若，由，，

，，

∴不成立，

②若，由时，，

∴在上单调递减，

从而，即

（）若，由于时，，

∴在上单调递增，

从而，即，

要使成立，只需，

即成立即可，

由于函数在上单调递增，且，

∴

（）若，由于时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴在上单调递增，在上单调递减，

从而，即，

要使成立，只需成立，

即成立即可．

由，可得，故当时，

恒成立．

综上所述：的取值范围是．