Question

设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosC+

1

2

c=b．
（1）求角A的大小；
（2）若c=1，△ABC的面积为

3

2

，求边长a的值．

Answer 1

分析：（1）已知条件中的cosC利用余弦定理变形，等式化简后得到一个关系式，然后再利用余弦定理表示出cosA，把化简得到的关系式代入即可求出cosA的值，根据A的范围利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）由（1）求出的A的度数求出sinA和cosA的值，利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，让面积等于

3

2

，由sinA及c的值即可求出b的值，再由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值．

解答：解：（1）由acosC+

1

2

c=b得：
a•

a2+b2-c2

2ab

+

1

2

c=b，
化简得：a²=b²+c²-bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，又A∈（0，π），
所以A=

π

3

；（5分）
（2）由（1）知A=

π

3

，c=1，S△ABC=

3

2

，
所以

3

2

=

1

2

bcsinA=

3

4

b，解得：b=2．
由余弦定理得：a2=4+1-2•2•1•

1

2

，
所以a=

3

．（10分）

点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，灵活运用三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．