Question

如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）

（1）求证：AE∥平面DCF；
（2）当AB的长为

9

2

，∠CEF=90°时，求二面角A-EF-C的大小．

Answer 1

分析：（1）要证明线面平行，关键是在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面DCF中三条已知直线与AE都不平行，故我们要考虑在平面DCF中做一条与AE可能平行直线辅助线，然后再进行证明．
（2）要求二面角的大小，要先构造出二面角的平面角，然后利用解三角形的方法，求出这个平面角的大小，进而给出二面角的大小．

解答：解：（1）过点E作EG⊥CF交CF于G，连接DG，
可得四边形BCGE为矩形，
又四边形ABCD为矩形，所以AD=EG，
从而四边形ADGE为平行四边形
故AE∥DG
因为AE?平面DCF，DG?平面DCF，
所以AE∥平面DCF
（2）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH，BH．
由平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，
从而AH⊥EF．所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角

在Rt△EFG中，因为EG=AD=

3

，EF=2．
∴∠GFE=60°，FG=1．又因为∴∠GEF=90°，
所以CF=4，从而BE=CG=3．于是BH=BE•sin∠BEH=

3 3

2

．
在RT△AHB中，AB=

9

2

，则tanAHB=

AB

BH

=

3

，
因为0°＜∠AHB＜180°，
所以∠AHB=60°，所以二面角A-EF-C的大小为60°．

点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．本题也可以用空间向量来解决，其步骤是：建立空间直角坐标系?明确相关点的坐标?明确相关向量的坐标?通过空间向量的坐标运算求解．