Question

已知曲线C：y²=2x（y≥0），A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），…，A_n（x_n，y_n），…是曲线C上的点，且满足0＜x₁＜x₂＜…＜x_n＜…，一列点B_i（a_i，0）（i=1，2，…）在x轴上，且△B_i-1A_iB_i（B是坐标原点）是以A_i为直角顶点的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求A₁、B₁的坐标；
（Ⅱ）求数列{y_n}的通项公式；
（Ⅲ）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意可得直线BA₁的方程为y=x．由可解得x₁=y₁=2，进而可得A₁的坐标，由直线A₁B₁的方程可得B₁的坐标；
（Ⅱ）由等腰直角三角形的知识可得x_n+y_n=x_n+1-y_n+1，由点在曲线上代入可得y_n+1-y_n=2，进而可得结论；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，可得a_n=x_n+y_n=2n（n+1），由列项法易得，由等比数列的求和公式可得，由题意可得n的不等式，可得答案．
解答：解：（Ⅰ）∵△BA₁B₁是以A₁为直角顶点的等腰直角三角形，∴直线BA₁的方程为y=x．
由得x₁=y₁=2，即A₁（2，2），∴直线A₁B₁的方程为y-2=-（x-2），
令y=0，可解得x=4，故B₁（4，0）…（3分）
（Ⅱ）根据△B_n-1A_nB_n和△B_nA_n+1B_n+1分别是以A_n和A_n+1为直角顶点的等腰直角三角形
可得，即x_n+y_n=x_n+1-y_n+1．（*）…．…..（5分）
∵A_n和A_n+1均在曲线C：y²=2x（y≥0）上，
∴，
∴，代入（*）式得，
∴y_n+1-y_n=2（n∈N^*）．…..…..…．…..（7分）
∴数列{y_n}是以y₁=2为首项，2为公差的等差数列，
故其通项公式为y_n=2n（n∈N^*）． …..（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，，…．…（9分）
∴a_n=x_n+y_n=2n（n+1），…..…．…（10分）
∴，，
∴
==，…．…..（11分）
而．   …．…（12分）
欲使，只需＜，
只需，…．…（13分）
∵，
∴不存在正整数N，使n≥N时，成立．…．（14分）
点评：本题考查等差数列和等比数列的综合应用，涉及数列的求和问题，属难题．