题目内容

已知双曲线
x2
a2
-y2=1的两个焦点为F1、F2，P为双曲线上一点，且∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|的值为（　　）
A、2B、4C、6D、8
分析：先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用双曲线的定义求得|n-m|的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的余弦定理中求得mn的值．
解答：解：设|PF1|=m，|PF2|=n，
由双曲线的定义可知|m-n|=2a，
∴m2+n2-2nm=4a2，
∴m2+n2=4a2+2nm
由余弦定理可知cos60°=
m2+n2-4c2
2mn
=
4a2+2mn-4c2
2mn
=
1
2
，求得mn=4
则|PF1|•|PF2|的值为4．
故选B．
点评：本题主要考查了双曲线的应用，双曲线的简单性质和双曲线的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．
练习册系列答案
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已知双曲线
x2
a2
-
y2
7
=1，直线l过其左焦点F1，交双曲线的左支于A、B两点，且|AB|=4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则此双曲线的离心率e=
 
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且该双曲线的离心率为
5
，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O为坐标原点，离心率e=2，点M(
5
，
3
)在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
OP
•
OQ
=0．问：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否为定值？若是请求出该定值，若不是请说明理由．
（1）已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R），则该直线过定点
（-2，1）
（-2，1）
；
（2）已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线方程为y=
4
3
x，则双曲线的离心率为
5
3
5
3
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）满足| 
a1
b
2
 |=0，且双曲线的右焦点与抛物线y2=4
3
x的焦点重合，则该双曲线的方程为
 
．

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